В 1925 году поступил в 1-й музыкальный техникум (класс профессора Б.Л. Яворского). В 1929 году Дзержинский поступил в Техникум имени Гнесиных (класскомпозиции профессора М.Ф. Гнесина). В 1930—1931 годах учился в ленинградском Центральном музыкальном техникуме (класс композиции П.Б. Рязанова), а в 1931—1932 — в Ленинградской консерватории, откуда был отчислен за непосещение занятий.

1930-х годах написал фортепианные и камерные произведения: «Поэму о Днепре» и «Весеннюю сюиту» для фортепиано, «Северные песни», первый фортепианный концерт.

Широкую известность приобрел благодаря опере «Тихий Дон» (1935) по роману М.А. Шолохова, ставшей значимым явлением в советском музыкальном театре. Опера, поддержанная Д.Д. Шостаковичем, получила широкое распространение, несмотря на критические оценки её музыкального содержания со стороны некоторых деятелей (например, В.И. Немировича-Данченко), приписывавших её успех яркой драматургии и использованию народных мелодий. Позднее создал вторую оперу на тот же сюжет — «Григорий Мелехов» (1967), которая не имела успеха.

Среди других опер: «Поднятая целина» (1937), «Волочаевские дни» (1939), а также военная опера «Надежда Светлова» (1943), посвящённая обороне Ленинграда. Является автором музыкальной комедии «В зимнюю ночь» (1946), ряда вокальных циклов, камерных произведений и музыки к кинофильмам.